ＤＯＩ:１０.１９３９２/ｊ.ｃｎｋｉ.１６７１￣７３４１.２０２４０３０５１

　　摘要:给定一个具有两种资产的市场ꎬ其中ꎬ一种资产为债券ꎬ另一种资产为股票ꎮ同时ꎬ假定市场中的利率是浮动

　　的、假定市场中具备通货膨胀、假定投资者的目标为资产效用与消费效用的最大化ꎬ在忽略资产与现金的转化所需的时间以

　　及消费所需的时间的情况下ꎬ基于随机控制理论ꎬ通过求解一个ＨＪＢ方程ꎬ得出了使投资者效用最大的最优投资消费模型ꎮ

　　随着金融市场与金融衍生品的不断发展ꎬ有关金融数化ꎬ全部资产在消费发生前可连续产生收益ꎮ同时ꎬ本文

　　学的研究越来越具有现实意义ꎮ在有关金融数学的研究记投资者在ｔ时刻投资股票的资产比例为π(ｔ)ꎬ投资债券

　　中ꎬ最优投资的相关问题一直是非常重要的研究方向ꎮ近的资产比例为１π(ｔ)ꎬ消费率为ｃ(ｔ)ꎻ记投资者的资产效

　　ｄｒ(ｔ)ｂ[μｒ(ｔ)]ｄｔσｄＷ(ｔ)ｄＸ(ｔ)Ｘ(ｔ)[１π(ｔ)]Ｘ(ｔ)π(ｔ)Ｘ(ｔ)ｃ(ｔ)ｄｔ

　　股票在ｔ时刻的价格为Ｓ(ｔ)ꎬ其价格过程满足:ｄ可根据伊藤公式计算得出ꎬ其满足:

　　在以上模型中ꎬｂ、μ、μ、μ、σ、σ、σ０、Ｗ(ｔ)、Ｗ产效用与消费效用的总和的期望值最大ꎬ其中ꎬ资产效用

　　(ｔ)、Ｗ(ｔ)为布朗运动ꎬ其中ꎬＷ(ｔ)与Ｗ(ｔ)的相关性为只与Ｔ时刻的资产相关ꎬ消费效用在[０ꎬＴ]时间段内产生ꎬ

　　ρꎬＷ(ｔ)与Ｗ(ｔ)的相关性为ρꎬＷ(ｔ)与Ｗ(ｔ)的相关即:对于全部控制α(π(ｔ)ꎬｃ(ｔ))ꎬ投资者希望找到最优的

　　性为ρꎬ即:ｄＷ(ｔ)ｄＷ(ｔ)ρｄｔꎬｄＷ(ｔ)ｄＷ(ｔ)ρｄｔꎬ控制ꎬ使得该控制满足:

　　Ｖ(ｔꎬｒꎬｘ)ｍａｘＥｕ(Ｘ(Ｔ))ｕ(Ｘ(ｓ)ｃ(ｓ))ｄｓ｜ｒ(ｔ)ｒꎬＸ(ｔ)ｘ

　　显然可以得到:Ｖ(Ｔꎬｒꎬｘ)ｕ(ｘ)ꎮ同时ꎬ本文假设值函数二阶连续可微ꎬ下面推导ＨＪＢ方程ꎮ

　　于是有:Ｖ(ｔꎬｒ(ｔ)ꎬＸ(ｔ))⩾Ｅ[∫ｕ(Ｘ(ｓ)ｃ(ｓ))ｄｓＶ(ｔｈꎬｒ(ｔｈ)ꎬＸ(ｔｈ))]

　　根据伊藤公式ꎬ可以得到:Ｖ(ｔｈꎬｒ(ｔｈ)ꎬＸ(ｔｈ))Ｖ(ｔꎬｒ(ｔ)ꎬＸ(ｔ))∫ｂ[μｒ(ｓ)]Ｘ(ｓ)[(ｒ(ｓ)

　　π(ｓ)μｃ(ｓ)μσπ(ｓ)σσρ)]σ[Ｘ(ｓ)][π(ｓ)σσ２π(ｓ)σσρ]Ｘ(ｓ)[π

　　(ｓ)σσρσσρ]ｄｓ∫σｄＷ(ｓ)∫Ｘ(ｓ)π(ｓ)σｄＷ(ｓ)∫Ｘ(ｓ)σｄＷ(ｓ)

　　简记为:Ｖ(ｔｈꎬｒ(ｔｈ)ꎬＸ(ｔｈ))Ｖ(ｔꎬｒ(ｔ)ꎬＸ(ｔ))Ａꎮ令Ｂ∫σｄＷ(ｓ)∫Ｘ(ｓ)π(ｓ)σｄＷ(ｓ)

　　∫Ｘ(ｓ)σｄＷ(ｓ)ꎮ于是有:Ｅ[Ｖ(ｔｈꎬｒ(ｔｈ)ꎬＸ(ｔｈ))]Ｖ(ｔꎬｒ(ｔ)ꎬＸ(ｔ))Ｅ[ＡＢ]ꎮ

　　结合Ｖ(ｔꎬｒ(ｔ)ꎬＸ(ｔ))⩾Ｅｕ(Ｘ(ｓ)ｃ(ｓ))ｄｓＶ(ｔｈꎬｒ(ｔｈ)ꎬＸ(ｔｈ))ꎬ可得:Ｅｕ(Ｘ(ｓ)ｃ(ｓ))ｄｓＡＢ£０

　　令ｈ０ꎬ结合ｒ(ｔ)ｒ、Ｘ(ｔ)ｘꎬ可推出ＨＪＢ方程:ｍａｘ{Ｖｂ(μｒ)ＶσＶｘ[ｒπ(ｔ)μｃ(ｔ)μσπ(ｔ)

　　σσρ]Ｖ(ｘ)[π(ｔ)σσ２π(ｔ)σσρ]Ｖｘ[π(ｔ)σσρσσρ]Ｖｕ[ｘｃ(ｔ)]}０

　　考虑到Ｖ(Ｔꎬｒꎬｘ)ｕ(ｘ)ꎬ故本文假设ＨＪＢ方程的解满足:Ｖ(ｔꎬｒꎬｘ)ｆ(ｔꎬｒ)ꎮ其中ꎬｆ(Ｔꎬｒ)１ꎮ

　　为进一步化简方程ꎬ本如下假设:ｆ(ｔꎬｒ)ｇ(ｔꎬｒ)ꎮ其中ꎬｇ(Ｔꎬｒ)１ꎮ

　　在此假设下ꎬ本文对ｆ(ｔꎬｒ)求各阶偏导ꎬ得:ｆ(１ｐ)ｇｇｆ(１ｐ)ｇｇｆｔｔｒｒｒｒｐ(１ｐ)ｇｇ(１ｐ)ｇｇｒｒｒ

　　于是得到:ｇ(ｔꎬｒ)τｇ(ｔꎬｒ)１０ꎮ将τ作用于ｇ(ｔꎬｒ)ｔ∫ｈ(ｓꎬｒ)ｄｓｈ(ｔꎬｒ)ꎬ可得:τｇ(ｔꎬｒ)∫τｈ(ｓꎬｒ)ｄｓτｈ(ｔꎬｒ)

　　同时ꎬ在ｇ(ｔꎬｒ)∫ｈ(ｓꎬｒ)ｄｓｈ(ｔꎬｒ)两侧关于ｔ求偏导ꎬ可得:

　　ｇ(ｔꎬｒ)ｈ(ｔꎬｒ)ｈ(ｔꎬｒ)ｈ(Ｔꎬｒ)ｔｔ∫ｈ(ｓꎬｒ)ｄｓｈ(ｔꎬｒ)ｔｔ

　　ｇ(ｔꎬｒ)τｇ(ｔꎬｒ)１ｈ(Ｔꎬｒ)ｔ∫ｈ(ｓꎬｒ)ｄｓｈ(ｔꎬｒ)ｔｔ∫τｈ(ｓꎬｒ)ｄｓτｈ(ｔꎬｒ)１０

　　记Ｃ(ｔꎬｒ)τｈ(ｔꎬｒ)ｈ(ｔꎬｒ)ꎬ结合ｈ(Ｔꎬｒ)１ꎬ可得:Ｃ(ｓꎬｒ)ｄｓＣ(ｔꎬｒ)０

　　显然可以得到:Ｃ(Ｔꎬｒ)０ꎮ将Ｃ(ｓꎬｒ)ｄｓＣ(ｔꎬｒ)０两侧对ｔ求偏导ꎬ可得:Ｃ(ｔꎬｒ)Ｃ(ｔꎬｒ)０ꎮ

　　解得:Ｃ(ｔꎬｒ)Ｄ(ｒ)ｅꎮ结合Ｃ(Ｔꎬｒ)０ꎬ可得:Ｄ(ｒ)０ꎬ即:Ｃ(ｔꎬｒ)０ꎬ故结论得证ꎮ

　　本文在此处对方程进行最后一次化简ꎬ假设:ｈ(ｔꎬｒ)ｅｘｐ[Ｐ(ｔ)Ｑ(ｔ)ｒ]ꎬ其中ꎬＰ(Ｔ)Ｑ(Ｔ)０ꎮ

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